Integral


INTEGRAL

1. Integral Tak Tentu (Anti Turunan)

Dalam kehidupan sehari – hari operasi balikan (invers) dapat di asumsikan ketika kita memakai jaket maka tentu saja kita dapat melepasnya kembali. Dalam matematika terdapat bebrapa pasangan seperti penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar. Adapun operasi balikan dari diferensial adalah integral.

Definisi :

Contohnya F adalah suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I (jika x suatu titik di ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan suatu sisi).

Ø Notasi untuk anti Turunan

Untuk memudahkan perhitungan matematika akan digunakan suatu notasi untuk operasi anti diferensial. Seperti halnya notasi diferensial terhadap variabel x yaitu ” ∫ … dx” diberiakan pertama kali oleh Gottfried Wilhelm Leibnizt dengan demikian anti diferensial dari f(x) adalah F(x) + C dapat ditulis:

f(x) dx = F(x) + C

Teorema A

(Aturan Pangkat). Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1,

∫ x r dx = xr + 1 + C

r + 1

Bukti:

Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk

f(x) = F(x) + C

Adalah cukup dengan membuktikan:

Dx[F(x) + C] = f(x)

Dalam kasus kita,

Dx xr + 1 + C = 1/ (r +1) * (r +1) x r = x r

r + 1

Jika r = 0 maka:

∫ 1 dx = x + C

Teorema B

∫ sin x dx = – cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

Bukti:

Secara singkat inagt bahwa turunan atau Dx(-cos x) = sin x dan Dx(sin x) = cos x.

Ø Integral Tak Tentu Adalah Linear

Ingat bahwa Dx adalah suatu operator linear. Ini berarti dua hal:

v Dx[kf(x)] = kDxf(x)

v Dx[f(x)] + g(x)] = Dx f(x) + Dxg(x)

Dari dua sifat ini, sifat ketiga didapat secara otomatis:

v Dx[f(x)g(x)] = Dx f(x) – Dxg(x)

Teorema C

(kelinearean dari ∫ …dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka:

* kf(x) dx = k∫ f(x) dx;

* ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x);

* ∫ [f(x) g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x)

Bukti:

Untuk membuktikan teorema C pada poin pertama dan kedua, cukup mendiferensialkan ruas kanan dan amati bahwa kita memperoleh integran ruas kiri.

Dx[k ∫ f(x) dx] = k Dx ∫ f(x) = kf(x)

Dx[ ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx] = Dxf(x) dx + Dxg(x) dx

= f(x) + g(x)

Ø Aturan Pangkat Diperumum

Teorema D

(aturan pangkat Diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. maka:

∫ [g(x)]r g’(x) dx = [g(x)]r + 1 + C

r + 1

2. Pengantar untuk Persamaan Diferensial

Dalam pembahasan sebelumnya, telah dijelaskan mengenai pengintegralan (anti penurunan) suatu fungsi f untuk memperoleh suatu fungsi baru F.dapat dituliskan:

f(x) dx = F(x) + C

Dan ini terbukti, asalkan F(x) = f(x) + C

Ø Pemisahan Variabel

Perhatikan persamaan diferensial:

dy = x + 3x2

dx y2

jika kedua ruas kita kalikan dengan y2 dx, kita peroleh:

y2 dy = (x + 3x2) dx

CONTOH SOAL:

1.∫ (√x – 1)2 dx = (√x2 – 2√x + 1) dx

x3 x3

= ∫ [ x-2 – 2x½ + x-3] dx

= -x-1 + 4/3x-3/2 – ½x-2 + C

= -1/x + 4/3x√x – ½x2 + C

2.Hitunglah ∫ 4 sin3x cos x

Penyelesaian:

Andai f(x) = sin x maka f’(x) = cos x jadi

∫ 4 sin3x cos x = 4 ∫ [f(x)]3 f’(x)dx

= 4 ∫ [f(x)] 4 + C

4

= 4/4 sin4 x + C = sin4 x + C

  1. Percepatan suatu objek yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat diberikan oleh

a(t) = (4t + 1) -2 dalam meter perdetik. Jika kecepatan pada t = 0 adalah 2 m/s cari kecepatan objek ketika t = 1 detik!

Penyelesaian :

dv = (4t + 1) -2

dt

Misal :

u = (4t + 1)

du = 4

dt

du = 4 dt

maka :

v = ∫ u du

= ∫ (4t + 1) -2 dt

= ¼ ∫ (4t + 1) -2 4 dt

= ¼ (4t + 1) -1 / -1 + C

= -¼ (4t + 1) -1 + C

Karena v = 2 pada saat t = 0 maka :

v = -¼ (4t + 1) -1 + C

2 = -¼ (4.0 + 1) -1 + C

2 = -¼ + C

C = 2 + ¼

C = 9/4 = 2,25

Jika pada t = 1 maka :

v = -¼ (4t + 1) -1 + C

v = -¼ (4.1 + 1) -1 + 2,25

v = -¼ (5) -1 + 2,25

v = -0,05 + 2,25

v = 2,3 m/s

Nama : Ira Rismayanti

NIM : 2225080691

Kelas : II B

Tugas : Kalkulus

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s