Aplikasi turunan

APLIKASI TURUNAN

I.1 Maksimum dan Minimum

Definisi:

Andaikan S, daerah asal dari f, mengandung titik c. Kita katakan bahwa:

  • f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;

  • f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;

  • f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum.

  • Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif.

Teorema A

Teorema keberadaan maksimum-minimum jika f pada selang tutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum disana.

Dimana terjadinya nilai ekstrim?

Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didedinisikan pada selang tertutup seringkali terjadi pada titik-titik ujung.

Jika c sebuah titik tempat f’(c) = 0 kita sebut c titik stasioner. Pada titik stasioner grafik f mendatar, karena garis singgung mendatar.

Jika c adalah titik didalam I tempat f aksen tidak ada, kita sebut c titik singular yang berupa titik tempat grafik f berpojok tajam, garis singgung tegak, atau berupa loncatan atau didekatnya grafik bergoyang sanagt buruk. Sembarang titik dalam daerah asal fungsi f yang termasuk salah satu dari tipe ini disebut titik kritis f.

Teorema B

Teorema titik kritis:

Andaikan f terdefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika (c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:

  • Titik ujung dari I;

  • Titik stasioner dari f(f’(c)=0); atau

  • Titik singular dari f(f’(c) tidak ada)

Bukti:

f (c) berupa nilai maksimum f pada I dan andaikan c bukan titik ujung ataupun titik singular.

Karena f(c) adalah nilai maksimum, maka f(x) ≥ f(c) untuk semua x dalam I yaitu f(x) – f(c) ≤ 0

Jadi jika x < c, sehingga x-c < 0 maka

(1) f(x) – f(c) ≥ 0

x – c

sedangkan jika x > c, maka:

(2) f(x) – f(c) ≤ 0

x – c

Tetapi f’(c) ada, karena c bukan titik singular. Akibatnya bila kita biarkan x c¯ dalam (1) dan

x c+ dalam (2), kita memperoleh masing-masing f’(c) ≥ 0 dan f’(c) ≤ 0. kita simpulkan

bahwa f’(c) = 0.

4.2 Kemonotonan dan kecekungan

Definisi:

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dapat katakan bahwa:

  • f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

  • x1 < x2 f(x1) < f(x2)

  • f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

  • x1 < x2 f(x1) > f(x2)

  • f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I.

Turunan pertama dan kemonotonan

Turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik f dititik x. Kemudian jika f’(x) > 0 maka garis singgung naik kekanan. Dan jika f’(x) < 0 maka garis singgung turun kekanan.

Teorema A

Teorema kemonotonan:

Andaikan f kontinue pada selang I dan terdefinisikan pada setiap titik-dalam dari I.

  • Jika f’(x) > 0 semua x titik-dalam I, maka f naik pada I.

  • Jika f’(x) < 0 semua x titik-dalam I, maka f turun pada I

Turunan kedua dan kecekungan

Suatu fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang bergoyang. Jika garis singgung berbelok secara tetap dalam arah yang berlawanan arah outaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, dan jika garis singguang berbelok searah putaran jarum jam, maka grafik cekung ke arah bawah.

Definisi kecekungan

Andaikan f terdiferensialkan pada selang terbuka I, kita mengatakan bahwa f (dan grafiknya) cekung ke atas pada I jika f’ naik pada I, dan kita mengatakan bahwa f cekung ke bawah pada I jika f’ turun pada I.

Teorema A

Teorema kecekungan:

Andaikan f terdeferensiasikan dua kali pada selang buka I.

  • Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I.

  • Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I.

Titik balik

Andaikan f kontinue di c, kita sebut (c.f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung keatas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.

GAMBAR

4.3 Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi

Andaikan S daerah asal dari f, mengandung titik c, dapat dikatakan bahwa:

  • f(c) adalah suatu nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b) simbol gabungan S;

  • f(c) adalah suatu nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) simbol gabungan S;

  • f(c) adalah suatu nilai ekstrim lokal dari f jika kedua-duanya adalah sebuah nilai maksimum lokal atau sebuah nilai minimum lokal.

Teorema A

Uji turunan pertama:

Andaikan f kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c.

  • Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal.

  • Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal.

  • Jika f(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Bukti (i)

Karena f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c), maka menurut teorema kemonotonan f naik pada (a,c].

Karena f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f turun pada [c,b). Jadi f’(x) < f’(c) untuk semua x dalam (a,b), kecuali tentu saja di x = c. Kita menyimpulkan bahwa f(c) adalah maksimum lokal. Demikian juga untuk bukti (ii) dan (iii).

Teorema B

Uji Turunan kedua:

Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0.

  • Jika f”(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

  • Jika f”(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

Bukti (i)

Dari definisi dapat dibuktikan bahwa:

f”(c) = =

Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat selang (ά,β) di sekitar c dengan

f’(x) > 0 x ≠ c

Tetapi ketidaksamaan ini mengimplikasikan bahwa f’(x) > 0 untuk ά < x< c dan f’(x) < 0 untuk c < x < β. Jadi menurut turunan uji pertama f’(c) adalah nilai maksimum lokal.lebih Banyak

4.4 Lebih Banyak Masalah Maksimim – Minimum

Biasanya kita mengangap bahwa pada himpunan mana kita dapat memaksimumkan atau meminimuamkan suatu fungsi berupa selang tertutup. Tetapi ada juga selang – selang terbuka atatau setengah terbuka dan setengah tertutup. Maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global. Seperti dalam pembahasan 4.3.

Contoh:

Carilah (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari g(x) = x/(x3+2) pada .

Penyelesaian

g’(x) = = =

Pada terdapat dua titik kritis, titik ujung 0 dan titik stasioner 1. untuk 0 < x < 1, g’(x) > 0 sedangkan untuk x > 1, g’(x) < 0, jadi g(1) = ⅓ adalah nilai maksimum g pada .

Jika g mempunyai nilai minimum, harus terjadi pada titik kritis yang lainnya, yakni x = 0. sekarang g(0) = 0 dan g(x) > 0 untuk x > 0, sehingga g(0) = 0 adalah nilai minimum g pada . Grafik pada gambar.

Ringkasan metode.

Berdasarka contoh, untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan maksimum minimim ada beberapa langkah antara lain:

Langkah 1 :Buatlah grafik dan berikan variabel-variabel

Langkah 2 :Tuliskan rumus yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan dalam bentuk variabel-variabel tersebut.

Langkah 3 :Nyatakan soal sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x.

Langkah 4 :Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya berupa selang.

Langkah 5 :Tentukan titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Titik kritis berupa titk-titik stasioner dimana = 0.

Langkah 6 :Gunakan teori maksimum minimum untuk menentukan titik kritis mana yang menunjukan maksimum (minimum).

4.5 Penerapan Ekonomi

Setiap bidang ilmu mempunyai bahasannya sendisi. Salah satunya masalah ekonomi yang menggunakan kalkulus. Misalnya untuk menyatakan simbol ekonomi

Pendapatan total : R(x) = xp(x)

Total laba : P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x)

Keterangan:

p(x) = Harga tiap satuan

R(x) = Pendapatan total

C(x) = Biaya total

P(x) = total laba

Pengunaan Kata Marjinal

Contoh:

Andaikan ABC adalah sebuah perusahaan yang mengetahui fungsi biaya C(x) dan untuk sementara direncanakan memproduksi barang sebanyak 2000 satuan pada tahun ini. Dan direktur utamanya ingin menetapka biaya tambahan tiap satuan jika perusahaanya memperbesar produksinya lebih sedikit.

Pada grafik 2 nilai ∆C/∆x pada saat ∆x = 1 maka dapat dikatakan

Pada saat x = 2000, ini disebut biaya marjinal. Disebut juga , turunan terhadap x.

Dan harga marjinal sebagai, pendapatan marjinal .

4.6 Limit Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

Konsep ”tak-terhingga telah ad sejak dahulu perkembangan dalam ilmu matematika dapat diukur dalam bentuk pemahaman peranan dari ketakhinggaan. Dalam matematika seringkali menggunakan lambang-lambang ∞ dan -∞ dalam notasi untuk selang-selang tertentu. Misalnya (3, ∞) berarti menyatakan himpunan bilangan riil yang lebih besar dari pada 3.

Definisi-definisi Limit bila x →±∞. Dalam analogi dengan definisi sebagai berikut:

Definisi 1:

(Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada untuk suatu bilangan c. Dapat dikatakan bahwa f(x0 = L jika untuk masing-masing > 0, terdapat bilangan M berpadan sedemikian sehingga

X > M | f(x) – L | <

Definisi 2:

(Limit bila x → −∞) andaikan f terdefinisi pada untuk suatu bilangan c. Dapat dikatakan bahwa f(x) = l jika untuk masing-masing > 0, terdapat suatu bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

x < M│f(x) – L │<

Definisi 3

(limit-limit tak terhingga). Kita katakan bahwaf(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan positif M, berpadanan

Sudut > 0 sedemikian sehingga

0 < x – c<f(x) > M

4.7 Penggambaran Grafik Canggih

Kalkulus adalah salah satu cara untuk menganalisis struktur grafik secara baik khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri grafik.

Fungsi Rasional

Merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, yang lebih rumit untuk digrafikan di bandingkan polinom.

Ringkasan metode:

Langkah 1. Buat analisis pendahuluan sebagai berikut

  • Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah dibidang yang dikecualikan.

  • Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah genap atau ganjil)

  • Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu kordinat.

  • Gunakan turunan pertama untuk mencari titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.

  • Uji titik kritis untuk maksimum dan inimum lokal.

  • Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung kebawah dan untuk melokasikan titik balik.

  • Cari asimtot-asimtot.

Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik).

Langkah 3 Sketsakan grafik.

    4.8 Teorema nilai rata-rata

Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata-rata mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB.

CONTOH – CONTOH SOAL

  1. Nilai Maksimum dan Minimum

    Tentukan nilai maksimum dan minimum dar f(x)= -x2 + 2x + 3

    jawab:

    f'(x) = -2x + 2; f(x) = 0

    -2x + 2 = 0

    x = 1

    untuk x = 1maka f(1) = -(1)2+ 2(1) + 3 = 4 sehingga titiknya (1,4)

    f(x)= -x2 + 2x + 3 pada [-2,1]

    Titik kritisnya adalah -2,-1,0,1 maka:

Titik stasioner:f'(x) = -2x + 2 = 0

x = 1 jadi titiknya adalah (1,0)

f(-2) = -(-2)2 + 2(-2) +3 = -5

f(-1) = -(-1)2 + 2(-1) + 3 = 0

f(0) = 3

f(1) = -(1)2 + 2(1) + 3 = 4

Jadi nilai maksimumnya adalah 4 pada x = 1 dan nilai minimumnya adalah -5 pada x = -2

  1. Kemonotonan dan Kecekungan

f(t) = 2(t)3 – 9(t)2 + 12t

f'(t) = 6(t)2 – 18(t) +12 = 6(t – 2)(t – 1) harus ditentukan dimana;

(t – 2)(t – 1) > 0

(t – 2)(t – 1) < 0

Untuk menentukan titik ujung (t – 2)(t – 1) = 0 sehingga didapat x = 2 dan x = 1 dan titik ujungnya adalah [tak hingga,1],[1,2],[2, tak hingga]

Dengan menggunakan titik uji 0, 3/2, 3

f'(0) = 02 – 3(0) + 3 = 3 > 0

f(3/2) = (13/2)2 – 3(3/2) + 2 = -1/4 < 0

f(-3) = (3) 2 – 3(3) + 2 = 2 > 0

Jadi fungsi f naik pada selang [-,1] dan [2, ] sedangkan fungsi f turun pada selang [1,2]

  1. maksimum dan minimum lokal

    Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi berikut:

g(x) = x3 – 6(x) 2 + 4

jawab:

g'(x) = 3×2 – 12x

= 3x(x – 4) = 0 dibagi 3

x = 0 atau x = 4

( , 0), (0, 4), (4, )

Misalkan titik uji -1, 2, 5 maka:

f(-1) = (-1) 2 – 4(-1) = 5

f(2) = (2)2 – 4(2) = -4

f(5) = (5)2 – 4(5) = 5

sehingga f(x) > 0 ( , 0) dan (4, ) dan f(x) < 0 pada (0,4)

untuk menentukan nilai minimum dan maksimum:

untuk x = 0 maka f(0) = (0)3 – 6(0)2 + 4 = 4

untuk x = 4 maka f(4) = (4)3 – 6(4)2 + 4 = 20

  1. Lebih Banyak masalah nilai maksimum minimum

Carilah dua bilangan real positif yang jumlahnya 24 dan hasil kalinya sebesar mungkin!

Jawab:

f(x) = xy

x + y = 24

y = 24 – x

maka f(x) = x(24 – x)

= -x2 + 24x

sehingga: f(x) = -x2 + 24x

f'(x) = -2x + 24

f(x) = 0

f'(x) = -2x + 24 = 0

x = 12

f(x) = xy = 12(24 – 12) = 12(12) = 144

jadi x = 12 dan y = 12

    5. Penerapan Ekonomi

Jika C(x) = 7.45x + 2300 + 0.00025x2 rupiah dengan x = 1000. hitunglah biaya rata – rata tiap satuan

dan biaya marjinalnya?

Jawab:

biaya rata – rata = 7,45(x) + 2300 + 0.00025x2

1000

= 7.45(1000) + 2300 + 0.00025(1000)2

                1. 1000

= 10

Jadi biaya rata-ratanya adalah 10000 rupiah

Biaya Marjinal = 7.45 + 0.0005x = 7.45 + 0.5 = 7.95

Jadi biaya marjinalnya adalah 7950 rupiah.

  1. Limit ketak hinggaan dan Limit tak hingga

lim x menuju tak hingga = 2x3 – 3x2 + 1 = 2 x3/x3 – 3x2 /x3 + 1/x3 = 2

5x3 – 4x + 7 5x3 /x3 – 4x/x3 + 7/x3 5

7. Penggambaran grafik canggih

Fungsi y = f(x) = x3 – 3x2 + 1 naik dalam interval x < 0 < 2 dan turun dalam interval x < 0 atau x > 0.

Nilai stasioner dari f'(x) = 0

3x2 – 6x = 0

x(3x – 6) = 0

x = 0 atau x = 2;

untuk x = 0 diperoleh: f(0) = 03 – 3(0) + 1 = 1

untuk x = 2 dipeoleh: f(2) = (2)2 – 3(2) + 1 = -3

jadi nilai maksimum f(x) adalah 1 pada x = 0, dan nilai minimum f(x) adalah – 3 pada x = 2

b. f”(x) = 6x – 6

f(x) cekung keatas diperoleh dari f”(x) > 0

f”(x) = 6x – 6 > 0

x > 1

f(x) cekung kebawah diperoleh dari f”(x) < 0

f”(x) = 6x – 6 < 0

x < 1

fungsi x3 – 3x2 + 1 cekung keatas pada interval x > 1 dan cekung kebawah pada interval x < 1.

Syaratnya, titikm belok f”(x) = 0

6x – 6 = 0

x = 1

untuk x = 1 maka f(1) = (1)3 – 3(1)2 + 1

= 1 – 3 + 1 = -1 jadi titiknya adalah (1,-1)

  1. Teorema Rata – rata

    Hitunglah berapa C yang memenuhi

    Jika f(x) = f(b) – f(a) pada [-1,2] dengan a = -1 dan b = 2

    b – a

        1. 3 3 3

      1. = f(-1) – f(2) = -21 – 3 = -24 = -8

f'(x)= f(c) = 3x2 + 2x -10

= 3c2 + 2c – 10 = -8

= 3c2 + 2c – 10 + 8 = 8 + 8

= 3c2 + 2c – 2 = 0

Dengan menggunakan rumus ABC didapat c1 = 0,584 dan c2 = 1,215

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s